线性规划（精选十篇）

云宝吧时间：2025-05-23

线性规划（精选十篇）

线性规划篇1

在教学中发现, 平常训练的很多题型都是源于课本、高于课本.只要在平常讲课过程中对课本中的例、习题不断地思考、提问、变化, 对题型的概括、学生的思维培养都大有益处的.本文就线性规划的一道例题, 浅谈一下对此如何进行挖掘引申、加工改造的.

江苏教育出版社《数学》必修5中P79.

引题:在约束条件

${\begin{cases} 4 x + y \leq 10 \\ 4 x + 3 y \leq 20 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$

下, 如何探求目标函数P=2x+y的最大值?

这道题目所涉及的线性规划的知识点有:

(1) 如何作可行域, 即:对于Ax+By+C>0 (A、B不能同时为0) , 有等为实, 无等为虚;A侧B方;同号右侧上方, 异号左侧下方.

(2) 如何求线性目标函数的最值, z的最值转为在y轴上的截距 (纵截距) 的最值, 也可以转化为在x轴上的 (横截距) 的最值.

一、利用几何意义解决具体目标函数的最值问题

变1 已知点P (x, y) 满足不等式

${\begin{cases} 4 x + y \leq 10 \\ 4 x + 3 y \leq 20 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$

, 设C (1, 0) , 则 $\vec{Ο Ρ} \cdot \vec{Ο C}$ 的最大值为____.

分析: $\vec{Ο Ρ} \cdot \vec{Ο C} = | \vec{Ο Ρ} | | \vec{Ο C} | \cos ∠ Ρ Ο C = | \vec{Ο Ρ} | \cos ∠ Ρ Ο C = x$ , 转化为目标函数z=x的最大值, 为 $\frac{5}{2} .$

变2 求目标函数 $z = \frac{y - 2}{x - 3}$ 的范围.

分析:如图1, 可理解为P (x, y) 与M (3, 2) 的斜率, 即:阴影内的点与M (3, 2) 这一点的斜率的取值范围.

$k_{A Μ} = \frac{5 - 2}{\frac{5}{4} - 3} = - \frac{12}{7}, k_{B Μ} = \frac{2 - 0}{3 - \frac{5}{2}} = 4$ , 所以, 由图知: $\frac{y - 2}{x - 3} \in [- \frac{12}{7}, 4] .$

注:这里涉及到点与直线的位置关系的判断.

变3 求目标函数z= (x-3) 2+ (y-2) 2的最小值.

分析:可理解为P (x, y) 与M (3, 2) 的距离的平方, 即:阴影内的点到M (3, 2) 的距离的平方的最小值.

如图2得知, M到l:4x+y=10的距离最小

$z_{最小} = (\frac{| 4 \times 3 + 2 - 10 |}{\sqrt{4^{2} + 1}})^{2} = \frac{16}{17} .$

注:此类题目需注意是距离的平方, 还是距离.距离的最小值到直线的距离, 那个垂足在可行域内吗?若不在, 则转化为到某点的距离最小.

变4 z=|2x+y-10|的最小值.

法1:如图3, 仿照例题的解法求出z1=2x+y-10的取值范围, z1∈[-10, -2.5]再求|z1|, 即z=|2x+y-10|的最小值为2.5.

法2:理解为点P (x, y) 到直线l:2x+y-10=0的距离 $d = \frac{| 2 x + y - 10 |}{\sqrt{5}}$ 的 $\sqrt{5}$ 倍, 即 $z = \sqrt{5} d .$

即转化为阴影内的点到直线l:2x+y-10=0的最小距离的 $\sqrt{5}$ 倍.所以平移直线l到A点处距离最小为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ , 则z的最小值为2.5.

以上是运用固定目标函数的几何意义 (包括了斜率、横 (纵) 坐标、两点的距离、点到直线的距离) 采用数形结合解决问题.

二、含参数的目标函数的最值问题

变5 z=ax+y取得最大值时, 有无穷多组解, 求a的值.

分析:最值时有无穷多组解, 说明取最值时应与边界所在直线平行, 且z的最大值相当于纵截距的最大值.

解:由图4知, (1) a>0时, k=-a<0, 则 $k = - \frac{4}{3}$ 或k=-4, 所以 $a = \frac{4}{3}$ 或a=4.

(2) a=0时, 舍去.

(3) a<0时, k=-a>0, 舍去, 综上所述: $a = \frac{4}{3}$ 或a=4.

变6 z=ax+y仅在A点取到得最大值, 求a的范围.

分析:平移直线l:ax+y=0, 只有至A点时, 纵截距最大.

解: (1) a>0时, k=-a<0, 则 $- 4 < k < - \frac{4}{3}$ , 所以

$\begin{array}{l} \frac{4}{3} < a < 4 . \\ (2) a = 0 \end{array}$

时, 舍去. (3) a<0时, k=-a>0, 舍去.

综上所述: $\frac{4}{3} < a < 4 .$

变5、变6主要考查运用线性规划的基础知识与分类讨论的数学思想综合解决问题.如果把引题中的已知与结论交换一下, 又将会怎样呢?

变7 在约束条件

${\begin{cases} 4 x + y \leq k \\ 4 x + 3 y \leq 20 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$

下, p=2x+y取到最大值为7.5, k的值为____.

解:由图2知:

${\begin{cases} 4 x + 3 y = 20 \\ 2 x + y = 7.5 \end{cases}$

得:

${\begin{cases} x = \frac{5}{4} \\ y = 5 \end{cases}$

, 得 $A (\frac{5}{4}, 5)$ , 代入直线4x+y=k, 得k=10所以k=10.

三、可行域的范围问题

变8 如图

$5 ‚ {\begin{cases} 4 x + y \leq k \\ 4 x + 3 y \leq 20 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$

表示的平面区域是一个三角形, 则k的取值值范围____.

答案: $k \in (0, \frac{20}{3}] \cup [20, + \infty)$

如果把动直线改为动圆, 其中圆心固定, 半径变动, 又会怎样?

变9 如图6, 若不等式

${\begin{cases} 4 x + 3 y \leq 20 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$

表示的平面区域为A, (x-2) 2+ (y-2) 2≤r2 (r>0) 表示的区域为B, 若B⊆A, 则r的取值范围是____.

分析:圆心在圆内, 圆心到区域A的边界的距离都大于等于半径r, 也可理解为可行域内的点到圆心的距离的最小值, 回到变3.

法1:

${\begin{cases} r \leq 2 \\ \frac{| 4 \times 2 + 3 \times 2 - 20 |}{5} \geq r \end{cases}$

, 所以 $0 < r \leq \frac{6}{5} .$

法2:可行域内的点到圆心的距离的最小值为 $\frac{6}{5}$ , 由图知 $0 < r \leq \frac{6}{5} .$

练习: (2009届南通市高三期末调研) 设a>0, 集合

$A = {(x, y) | {\begin{cases} x \leq 3 \\ x + y - 4 \leq 0} \\ x - y + 2 a \geq 0 \end{cases}, B = {(x, y) | (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} \leq a^{2}}$

.若点P (x, y) ∈A是点P (x, y) ∈B的必要不充分条件, 则a的取值范围是____.

分析:A表示的可行域, B表示的以 (1, 1) 为圆心, a为半径的圆面, 由题意得:圆面在A表示的可行域内部. (答案: $a \in (0, \sqrt{2}) .$

变10 如图7, 若不等式

${\begin{cases} 4 x + 3 y \leq 20 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$

表示平面区域为A, (x-2) 2+ (y-2) 2≤r2 (r>0) 表示的区域为B, 若A⊆B, 则r的取值范围是____.

分析:可行域在圆内, 且圆心固定, 转化为可行域内的点到圆心的距离的最大值.回到变3, 答案: $r \geq \frac{2 \sqrt{58}}{3}$ , 如果动圆圆记变动, 半径也变动, 将会怎样?

变11 如图8, 在平面区域

${\begin{cases} 4 x + 3 y \leq 20 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$

内有一个圆, 当点落在圆内的概率最大时的圆记为圆M, 则圆M的方程为____.

分析:圆M在可行域内, 概率最大即圆的面积最大, 所以圆M为区域多边形的内切圆.问题就转化为求三角形的内切圆.

法1: (特殊法) 可行域是直角三角形, 且两直角边为坐标轴, 可根据面积或切线长相等求得半径为 $\frac{5}{3}$ , 所以由图知圆M的方程为 $(x - \frac{5}{3})^{2} + (y - \frac{5}{3})^{2} = \frac{25}{9} .$

法2: (一般方法) 设圆心 (a, b) , 半径为r, 根据内切圆的定义得: $r = \frac{| 4 a + 3 b - 20 |}{5} = | a | = | b |$ , 由于圆心在可行域内, 根据不等式可去掉绝对值, 再解方程组.

练习: (2008届南通市一模) 在平面区域

${\begin{cases} x - 2 y + 10 \geq 0 \\ x + 2 y - 6 \geq 0 \\ 2 x - y - 7 \leq 0 \end{cases}$

内有一个圆, 向该区域内随机投点, 将点落在圆内的概率最大时的圆记为圆M, 试求出圆M的方程.

答案: (x-3) 2+ (y-4) 2=5.

变12 如图9, 已知平面区域

${\begin{cases} 4 x + 3 y \leq 20 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$

被圆N及其内部所覆盖, 当圆N的面积最小时, 圆C的方程为____.

分析:题目相当于求可行域内的外接圆方程.答案: $(x - \frac{5}{2})^{2} + (y - \frac{10}{3})^{2} = (\frac{25}{6})^{2} .$

像这样一道课本基础例题, 经过不断变换、改造, 几乎串联了线性规划中的全部类型, 达到了以点带面, 以少胜多, 巩固三基的效果, 使知识网络化、系统化, 大大提高了思维的创造性.

线性规划考题篇2

关键词：线性规划;几何向量;交汇题

纵观近些年的高考题，细细品味发现：重视在“知识的交汇处命题”是高考数学命题的一大特点，因为知识的交汇处既体现了知识的内在联系，又能更好考查学生的数学综合能力。本人结合自己的教学体会和江西省各地模拟试题及全国各省高考题，对其中的线性规划题作一简单归纳。

1、线性规划与解析几何交汇

例1：(江西省南昌市届高三第三次联考)已知x，y满足不等式组，则的最小值为( )

A. B. 2 C. 3 D.

分析与简解：

欲求最小值的式子可化为，即表示区域内动点(x，y)与定点(-1，1)的距离的平方，故画出线性约束条件下不等式组所表示的平面区域，如上图，易知问题可转化为求点(-1，1)到直线y=x的距离的平方，易算得2，故选B。

归纳：线性规划能很好地把数与形结合起来，故它与解析几何交汇很自然，此类题首先要准确画出不等式组表示的平面区域，即完成由数到形的转化，然后根据式子的几何意义，直观观察求得相关结论。

(1)(江西省吉安市20高三期末联考卷)若点P在区域内，则点P到直线距离的最大值为______

(2)(江西省上饶市重点中学2011届高三联考)设，若实数x，y满足条件，则的最大值是_______。

(3)(江西省2011届高三九校联考)设x，y满足约束条件，则的取值范围是( )

A. B.

C. ( ) D.

2.线性规划与函数，方程交汇

例2：(江西省八所重点中学2011年高三联考)已知函数f(x)的定义域为，且f(6)=2，f/(x)为f(x)的导函数，f/(x)的图象如上图所示，若正数a，b满足f(2a+b)<2，则的取值范围是( )

A. B.

C. D.

分析与简解：

由导函数图象知，，f(x)递增，故由f 可知：，作出可行域△ABO内部，如上图所示，易知表示区域内点(a，b)与定点P(2，-3)连线的斜率，易求得，故选A。

例3：(江西省新余一中2011届高三六模)已知函数的一个零点为x=1，另外两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则取值范围是__________.

分析与简解：

依题意函数的三个零点即方程的三根，且，故方程可等价为有两不等根，一根在(0，1)上，另一根在(1，+∞)上，即，作出可行域，易求得直线a+b+1=0与2a+b+3=0的交点A为(-2，1)，故可求得，故的范围应为 .

3.线性规划与概率交汇

例4：(江西赣州市2011年高三摸底考试)在平面xOy内，向图形内投点，则点落在由不等式组所确定的平面区域的概率为________.

分析与简解：

记事件A为点落在由不等组确定的区域内，作出该区域，如上图所示，易求得其面积为，另外试验的全部结果所构成的区域面积应为圆的面积，应求得为4π，故 .

归纳：涉及到几何概型中的面积比常用到平面区域面积。又如

(1)(江西省九江市2011届高三七校联考)已知点P(x，y)在约束条件所围成的平面区域上，则点P(x，y)满足不等式的概率是________.

(2)(江西省吉安市2011届高三一模)已知函数，实数a，b满足，则函数在[1，2]上为减函数的概率是( )

A B C D

4.线性规划与向量交汇

例5：(2011福建理科)已知O是坐标原点，点A(—1，1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是( )

A.[-1，0] B.[0，1]

C.[0，2] D.[-1，2]

分析与简解：

准确做出不等式组所表示的平面区域，如上图所示阴影区域：

由表示在方向上的投影与的模的积，观察易得点M分别在点B，D处使取得最小值0，最大值2，故选C.

在2011年高考及各地模拟卷中，向量与线性规划交汇的题还有：

(1)(2011广东理)已知平面直角坐标系xOy上的区域D，由不等式组给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为( )

A.3 B.4 C. D.

(2)(江西省重点中学协作体2011届高三第二次联考)已知点P(x，y)满足条件，点A(2，1)，则的最大值为( )

A. B. C . D. 2

线性规划解题例析篇3

1．目标函数是截距型

1）适当变换求解目标可以使其几何意义更加明确

例1 若实数 x,y满足x-4y≤-3

3x+5y≤25

x≥1.求Z=2x+y的最大值和最小值.

解：作出不等式组，所表示的平面区域

将Z=2x+y变形为y=-2x+z

问题转化为求y=-2x+z与图示的可行域有公共点时y轴截距z的最大值，最小值问题.结合图形可知L直线过A点（1,1）时Z有最小值3， L直线过B点（5,2）时Z有最大值12.

评析：形如目标函数Z=ax+by时,则y=-abx+zb，b＞0时y轴的截距越大，Z值越大,b＜0y轴的截距越小，Z值越小

2）含有参数的线性规划问题的处理

设x,y满足约束条件2x-y+2≥0

8x-y-4≤0

x≥0,y≥0若目标函数z=abx+y的最大值为8，则a+b的最小值？

解：据约束条件作出如图所示的可行域

a＞0，b＞0，所以目标函数过直线2x-y+2=0与8x-y-4=0的交点(1,4)时取得最大值，从而有8＝ab＋4，即ab＝4，所以a＋b≥2ab=4，即a+b的最小值为4.

评析：目标函数中z的几何意义是直线z=abx+y在y轴上的截距，通过观察直线的变化找到其取最大值的点，根据最大值是8求出ab的值，进而根据均值不等式求出a+b的最小值.

2. 目标函数是距离型

例２若实数 x,y满x-4y≤-3

3x+5y≤25

x≥1.求Z=（x+1）2+(x+2)2的最大值,最小值.

解:Z=(x+1)2+(x+2)2理解为可行域内的点（x,y）与点M（-1，-2）距离的平方.结合例1图像Z的最小值是MA2=13，Z的最大值是MC2=52

评析：形如目标函数Z=(x-a)2+(x-b)2时，Z值即为可行域内的动点（x,y）与点M（a，b）距离的平方,

3．目标函数是斜率型

例３已知变量x，y满足不等式组2x+y-4≥0

y-2≤0

x-y-2≤0

求z＝y-1x-1的最大值

解:据约束条件作出如图所示的可行域

y-1x-1的最大值可看作在可行域内的点与点P(－1,1)所得直線的斜率最大问题，由图可知直线PA的斜率最大，z的最大值就是zmax＝kPA＝2-11-(-1)＝12.

评析：形如目标函数Z=x-ay-b转化为可行域内的动点（x,y）与（a,b）连线的斜率

线性规划问题常考常新.因此我们应注重通性通法，注重解题的模式化.如给定平面区域求解一些非线性目标的最值或范围时，要根据解析几何知识确定求解目标的几何意义，结合解析几何知识解决问题，适当变换求解目标可以使其几何意义更加明确，从而更直观认识问题.

一个线性规划问题的引申篇4

解析第一步:作出可行域 (如图) .

第二步:将目标函数z=2x+y变形为y=-2x+z, 它表示斜率为-2, 在y轴上的截距为z的一条直线.

第三步:平移直线y=-2x+z, 当它经过两直线x-4y=-3与3x+5y=25的交点A (5, 2) 时, 直线在y轴上的截距z最大.

第四步:当x=5, y=2时, 代入目标函数z=2x+y中, 得zmax=2×5+2=12.

第五步:给出z=2x+y的最大值为12.

我们可以把以上方法总结为求解线性规划问题的一般步骤:

(1) 作出可行域;

(2) 把目标函数变形为直线方程的斜截式;

(3) 平移直线, 找到使目标函数最大值最小值;

(4) 解方程组得取最值时点的坐标;

(5) 把坐标代入目标函数, 求出最值.

引申1一般地, 对于形如z=ax+by (b≠0) 型的目标函数, 都可变形为, 将看作是直线在y轴的截距, 将问题转化为直线纵截距的最值问题.

引申2条件改变为 (x-5) 2+ (y-4) 2≤1, 仍然求z=2x+y的最值.

这时平面区域变成以点 (5, 4) 为圆心, 1为半径的圆面 (包括边界) .

引申3 条件不变, 求z=|2x+y|的最值.

本题可以总结一般性的解法:对于形如z=|Ax+By+C|型的目标函数, 可将其化为的形式.将问题转化为求可行域内的点 (x, y) 到直线Ax+By+C=0的距离的倍的最值.

引申4条件不变, 求z= (x+1) 2+ (y-1) 2的最值.

一般地, 对于形如y= (x+a) 2+ (y-b) 2 (或者可化为这种形式的) 型的目标函数, 均可化归为可行域内点 (x, y) 与点 (a, b) 距离的最值问题.

一般地, 对于形如 (ac≠0) 型的目标函数, 可先变形为的形式, 将问题转化为求可行域内的点 (x, y) 与点连线的斜率的倍的最值问题, 最终使问题迎刃而解.

线性规划课件篇5

附件3：

参赛作品登记表

作品编号：

参赛作品登记表(反面)

我(们)在此申明所报送作品是我(们)原创构思并制作，不涉及他人的著作权。作者签名：1.

注：

② 不同参赛项目限报作者人数不同，按报送时作者排序填写获奖证书。

②为保证评审费发票及获奖证书的顺利邮寄，请务必准确填写详细联系人信息。

《简单的线性规划问题》(第一课时)教学设计本节的教学重点是线性规划问题的图解法.数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法,本节教学内容中蕴含了丰富的属性结合素材，具体表现为:(1) 二元一次不等式(组)与为平面内点的坐标的结合. (2)线性目标函数解析式与直线的斜截式方程的结合.(3)线性目标函数的函数值与直线的纵截距的结合.(4)线性目标函数在线性约束条件下的最值与直线过可行域内的点时纵截距的最值的结合.这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻, 使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。

线性规划的实际问题的解决需要数学建模，一个正确数学模型的建立要求建模者熟悉规划问题的具体实际内容.对学生来说，上一节课已初步学习利用表格将文字长、数据多的应用问题中的数据进行整理，设未知数，列出线性约束条件;本节课一方面要让学生经历数据整理过程，准确列出约束条件，还要分析数据写出线性目标函数，尝试运用该模型解决实际问题，在多次数学问题解决的全过程中加深对简单线性规划问题数学模型的理解.

天津市滨海新区汉沽第一中学刘勇

(人教A版高中课标教材数学必修5第三章第3.3节)

一、内容与内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中

3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法.

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配

中的应用.

本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.

本节教学重点：线性规划问题的图解法;寻求有实际背景的线性规划问题的最优解.

二、目标和目标解析

(一)教学目标

1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.

2. 会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.

3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想.

4.结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识.

(二)教学目标解析

1. 了解线性规划模型的特征：一组决策变量表示一个方案;约束条件是一次不等式组;目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值.熟悉线性约束条件(不等式组)的几何表征是平面区域(可行域).体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系.

2.使学生学会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型.能理解目标函数的几何表征(一组平行直线).能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大(小)值，其基本步骤为画、移、求、答.

3.教学中不但要教教材,还要教教材中的蕴含的方法.在探究如何求目标函数的最值时，通过以下几方面让学生领悟数形结合思想、化归思想在数学中的应用.(1)不定方程的解与平面内点的坐标的结合，进而产生了直线的方程.(2)线性目标函数解析式与直线的斜截式方程的结合.(3)线性目标函数的函数值与直线的纵截距的结合.(4)二元一次不等式(组)的解集与可行域的结合.(5)线性目标函数在线性约束条件下的最值与直线过可行域内的点时纵截距的最值的结合.这样就能使学生对数形结合思想的理解更透彻,为以后解析几何的学习和研究奠定基础, 使学生从更深层次理解“以形助数”的作用以及具体方法.

4. 在线性规划问题的探究过程中，使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，培养解决运用已有知识解决新问题的能力.

三、教学问题诊断分析

本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：

(1)将实际问题抽象成线性规划问题;

(2)用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题?如何想到要这样转化?

(3)数形结合思想的深入理解.

为此教学中教师要千方百计地为学生创设探究情境，并作合理适度的引导，通过学生的积极主动思考，运用由特殊到一般的研究方法，借助于讨论、动手画图等形式进行深入探究.教师的引导是至关重要的，要做到既能给学生启示又能发展学生思维，让学生通过自己的探究获取直接经验.

教学难点：用图解法求最优解的探索过程;数形结合思想的理解.

教学关键：指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法找到目标函数与直线方程的关系

四、教法分析

新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.

本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.

(1)设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望;

(2)提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验.

(3)在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念;

(4)让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程.

五、教学支持条件分析

根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，借助信息技术工具，以“几何画板”软件为平台，将目标函数与直线方程进行转化，通过直线的平行移动的演示，观察纵坐标的变化，求出目标函数的最值.让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系.

六、教学过程

(一) 创设情境，激发探究欲望

组织学生做选盒子的游戏活动.

线性规划参数问题解法优化篇6

我们先回顾问题及其解答:

已知满足条件2x+y≤10,x+2y≤10,x+y≤6,x≥0,y≥0,且z=mx+y在点(2,4)处取得最大值,求实数m的范围.

图1

分析:要让函数z=mx+y在点(2,4)处取得最大值,则函数所表示的直线过点(2,4),且在区域的上方.

解:∵(2,4)在区域的上边界上,函数z=mx+y在点(2,4)处取得最大值,则m>0且区域在直线z=mx+y的下方,由图可知:kAB

又∵kAB=-2,kBC=-1,∴-2

点评:逆向思维,灵活理解,恰当运用线性规划知识.

质疑一:问题要求的是m的范围,给出的却是关于k的结论.如果仅仅是字母的差异,并无大碍,但k的范围也不是m的正确范围.

质疑二:目标函数z=mx+y在点(2,4)处取得最大值,但并不是说使取得最大值的点仅有(2,4)一个,结论中的范围应该是闭区间而不是开区间,端点应该可以取得到.

质疑三:原有解法借用图象说服力不强,特别是线性目标函数对应直线的斜率和边界的斜率一致或比较接近时,图象的不足也就暴露无遗,正如华罗庚先生所言:形缺数时难入微.

另外,最大值和最小值的区分也不明显.

改进:只要在原有线性规划思想上,变换角度来看原有问题可能更加方便.

如图1,在原有可行区域基础上,构造二元变量函数z(x,y)=mx+y,找到可行区域中五个关键点O(0,0),A(0,5),B(2,4),C(4,2),D(5,0).

要使z(x,y)=mx+y在点(2,4)取得最大值,只须

z(2,4)≥z(0,0),z(2,4)≥z(0,5),z(2,4)≥z(4,2),z(2,4)≥z(5,0),

也就是2m+4≥0,2m+4≥5,2m+4≥4m+2,2m+4≥5m,可得m的正确范围为12≤m≤1.

在改进原有的解法中,不等式组略复杂,其实当可行区域图形复杂时,中间许多步骤是可以省略的,这时只需简化为z(2,4)≥z(0,5),z(2,4)≥z(4,2)即可.大家能够悟出其中的道理吗?

另外一方面,解法中对端点的处理是比较到位的,从而回避了原有解法中对图形的过度依赖.

总的来说,上面的解法对线性规划中参数范围的问题具有通用性:将端点的函数值一一计算出来的,其中最大(小)值就是目标函数的最大(小)值.

图2

有了前面的经验后,再来看下面一则类似的问题,相信你可以很快准确完成.

【练习】如图2,已知A(0,5),B(1,1),C(3,2),D(4,3),动点P(x,y)所在的区域为ABCD(含边界).若目标函数z=ax+y仅在D点处使z取得最小值,求实数a的取值范围.

(参考答案:a<-1)

参考文献

杨建明.线性规划的常见类型与应用[J].中学生数学,2008(1).

《线性规划》课程教学策略研究篇7

线性规划的传统教学过程中, 大部分情况是全程板书进行详细讲解。因为线性规划这门课的独特性, 教师在讲解线性规划主体知识点之初就应该把线性代数中的矩阵的逆, 矩阵的初等行变换, 线性方程组求解等等知识点重新帮助学生们贯穿起来, 在保证这些知识点深刻理解的前提下进行单纯形法的讲解自然就水到渠成。鉴于课时的有限性, 讲解的任务量会非常重。然而, 最关键的问题还不是任务量重, 而是如果按照我们这种传统的教学模式会使得很多学生听课时觉得云里雾里, 抓不到重点。线性规划具有极强的应用性, 学习线性规划的最终目的是会用来解决实际问题, 在整个教学过程中就必须充分体现出这一鲜明的特点。总的说来, 在线性规划的传统教学中存在很多不足之处, 而这些不足之处往往使得教学效果事倍功半。

在线性规划课程的具体教学中往往会碰到如下问题:一方面是讲解知识时如何使学生把比较难的知识点理解掌握;另一方面是该科目的实效性如何提高。这是让高校任课教师非常头疼的, 怎么才能在时间短、任务重的情况下, 让学生能更好地理解掌握并且熟练应用本门课所讲的基本技能呢?下面就笔者的一些教学实践, 浅谈一下对这门课程教学改革的一点体会。

一、了解基础知识掌握程度, 把握教学难易进度

大部分高校对线性规划的课程定位仍是纯理论化的教学, 尽管高校在资金投入、人员配置等方面已经做了大量的工作, 但由于种种原因使得该课程的实效性和功效性没有完全发挥出来, 而教学的目的不应该仅仅是让学生掌握基础知识, 更应该是在掌握知识的基础上能够熟练应用该知识去解决实际问题。

实际教学过程中, 很多时候多数学生是在对于线性代数等基础知识掌握薄弱的情况下学习线性规划, 而线性代数对于线性规划有不言而喻的重要作用, 正是因为对于线性代数的掌握不佳使得大部分学生不能真正地理解线性规划的理论依据, 故而很多学生反映上课讲解的式子多而杂, 记不住, 显然做题效果就比较差。所以, 在讲解线性规划之前应先对学生的基础知识掌握情况有详尽的了解, 对于他们的薄弱环节先要加以巩固, 加深他们对线性代数等内容的理解, 为讲解后面线性规划的核心内容做好知识铺垫。

二、运用适当的教学模式

目前, 大多数线性规划教学模式为全程板书或全程多媒体两种。

对于基础课来说, 按照教案平铺直叙的讲解是传统课堂的授课方式, 采用全程板书的教学模式来系统地进行公式的推演和传授巧妙的解题技巧, 这样的讲解模式有其优势所在:学生对于知识的推导过程有更清晰的理解。不过也有其劣势所在:全程板书会使学生们一开始就觉得这门课很高深、很难, 觉得自己学不会, 更不会去想如何才能在这门课中有所作为, 使得学生把目标定位在被动学习的位置上;再加上有限的黑板容量, 对于线性规划来说就更显得渺小, 因为线性规划解题的运算量相对较大, 很多时候解一道题就至少要用3黑板才能结束, 这样不仅不利于把握教学时间, 更是因为要反复擦黑板使得学生想翻看前面的解题过程变也只能是奢望, 这不仅不利于学生们抓住重点、把握难点, 也不利于课堂总结, 更无法在提高实践能力上投入较多的时间。这样的教学方式虽然使学生掌握了一些数学模型的解法技巧, 但是对于提高实践能力却收效甚微。

当然, 全程多媒体的讲解模式也是有不足之处。虽然多媒体的应用会使得讲解效率大大提高, 一堂课下来学生对于重点难点也会一目了然, 但是全程多媒体教学会因为多媒体的过度使用使得大部分学生听得云里雾里的, 甚至连笔记都没办法及时补全, 更别提对知识理解的深度了, 故全程多媒体教学对于知识的理解掌握不利。

线性规划课程教学中应该适当采用多媒体技术, 板书和多媒体结合起来使得各自优势能发挥出来, 避免各自的劣势, 这其实对于教师的要求是比较高的, 任课教师不仅对于课件的把握要相当熟悉, 还要对于板书的设计要精准, 不然反而起不到相应的效果。在教学中一些难懂的抽象的内容, 教师使用传统的教学工具不好表达清楚的, 可以借助于计算机的图形、演示等功能, 使学生能更好地理解领悟, 这样我们在保证教学质量的前提下不仅提高了教学效率, 更是为培养学生的实践能力提供了时间的保证。

三、运用数学软件

线性规划本身就是一门注重实践的课程, 在教学过程中不应该重理论而轻实践, 理论的最终目标就是实践, 通过实践来理解掌握、巩固加深知识, 甚至改革创新出更好的算法也是极有可能的。在越来越提倡学以致用, 增强实效性的当今, 教师不应该埋头于教材, 而应该以教材为踏板, 把眼光放在生活实际中, 使学生通过学习这门课能真正地提高自己解决实际生活中问题的能力。

对于提高课程的实效性来说, 可以适当添加一些数学应用软件的学习, 如利用Lingo、Lindo和Matlab等工具软件求解线性规划问题。在讲解线性规划问题时, 如何才能让学生深刻认识到软件在求解线性规划问题上的方便快捷, 尤其是在实践课上更应该切实让学生练习掌握相关软件的应用。比如, 笔者在讲解单纯形法时, 就通过举例来说明理论推导的结果和运用Lingo软件的运行结果是一致的;在讲解灵敏度分析时, 通过Lingo软件直接得到结果, 不仅让学生深切认识到线性规划知识的重要性, 同时又使学生熟练掌握相关的数学软件, 为他们以后的学以致用构建好铺垫。

四、针对不同的专业举出不同的案例

目前, 学生们对于可以直接应用的知识表现出的热情极高, 而这对于数学中的大部分科目来说是个很大的挑战, 因为数学的理论性和抽象性, 很难找到特别切合学生认知的实际生活案例来呈现。然而, 这个难题在线性规划中几乎不存在, 因为课程本身就是来源于生活又反馈于生活的, 在生活实际中诸如此类的例子很多。只要多注意总结, 就能在不同专业的教学过程中, 找到与其认识的实际生活息息相关的例子。通过对这类实际问题的解决, 会让学生更深切的体会到线性规划知识的学以致用, 提高学习的积极性和主动性。此外, 各大高校的很多学生都有参加数学建模的兴趣或经历, 所以在实践课上也可以通过练习历年赛题的求解来激发学生学习的兴趣。特别是, 对于金融、管理等专业的学生更要选用适合本专业的教材和应用软件, 适时地通过线性规划的知识来解决本专业的相关问题, 这样会使得学生对金融、管理的专业知识掌握得更加深深刻。

摘要：目前, 各类高校的多个专业都开设了线性规划或者与其相关的科目, 针对线性规划教学过程中面临的问题, 笔者提出一些策略及建议。

关键词：线性规划,教学模式,实效性

参考文献

[1]徐玖平, 胡知能等.运筹学 (II类) [M].北京:科学出版社, 2006.

[2]徐玖平, 胡知能等.运筹学 (I类) [M].北京:科学出版社, 2004.

[3]廖宇波.Bland规则的一点改进[J].华东交通大学学报, 2005.2.

[4]郭秀英.经管类专业运筹学策略研究[J].西南石油大学学报, 2012.3.

线性规划篇8

一“纯代数法”在线性规划问题中的原理

代数法源于几何作图法, 是对几何法的“断章取义”, 也即“归纳升华”, 省去了繁琐的作图;只要可行域封闭的情况下, 就能用“纯代数法”, 再加上思维够严密——增加“检验不等式”, 将会节省大量的时间来完成线性规划问题的解答;在应试的角度上代数法优于几何法, 但从新课改的角度上看, 要把学生培养成为跨世纪的人才, 几何作图法是不可或缺的。

对于普通高考数学全国卷中的线性规划问题, 一般都是可行域封闭的情况, 解“纯代数法”的基本步骤如下: (1) 列二元一次方程组求解:各个二元一次不等式变成等式, 互相联立, 得到各组解 (交点) ; (2) 检验可行解:将各组解代入各个不等式, 看它们是否都成立;不等式成立就是我们需要的可行解, 只要有一个不等式不成立就把此解去掉; (3) 求值比较:将 (2) 中的可行解代入目标函数Z, 把得到的Z的值相互比较, 最大 (小) 的数就是要求的最大 (小) 值, 也可得到取最值的最优解。

二普通高考数学全国卷中的线性规划问题

1.2012年的全国新课标高考试卷 (理)

设x, y满足约束条件:则z=x-2y的取值范围为_____。

如果用“几何作图法”: (1) 取点; (2) 描点; (3) 作出4条直线; (4) 找出可行域; (5) 求交点; (6) 画平行的目标函数直线; (7) 根据可行域找目标函数直线的截距的最值——Z的相应最值——Z的范围。仅看步骤就很麻烦了, 而且还要熟练掌握基本的直线作图方法, 把目标函数也要看成Z已知的一条条平行直线, 最后还要转换成截距, 我区的学生要按部就班地把这道题完成, 并把答案完整地写出来, 没有一定的数学基础和一定的时间, 本题基本得不到分数。

但用“纯代数法”就不会这么麻烦, 直接可从上面的第5步开始:

检验:将上面的6个解代入上面的4个不等式, (0, 3) 和 (-1, 0) 使其中的不等式不成立, 因此去掉, 从而剩下其余的4个解即为可行解。

求值比较:把第2步的4个可行解分别代入目标函数得z=x-2y的4个值分别为0, -2, 3, -3。最大为3, 最小为-3, 因此z=x-2y∈[-3, 3]。

2.2011年普通高考数学新课标全国卷 (文)

若变量x, y满足约束条件则z=2x+3y的最小值为 () 。

列方程组求解:得解 (4, 2) ;得解 (1, 5) ;得解 (1, 1) 。

检验:将上面的3个解代入上面的3个不等式, 都满足不等式, 三个解都是可行解。

求值比较:将三个可行解分别代入目标函数z=2x+3y, 得到的三个值分别为14, 17, 5;因此最小值为5, 答案为C。

3.2010普通高考数学全国卷Ⅱ (文理同)

若变量x, y满足约束条件, 则z=2x+y的最大值为 () 。

同理:运用纯代数法得三个可行解 (-1, -1) , (-1, 4) , (1, 1) 代入目标函数z=2x+y得三个值分别为:-3, 2, 3, 因此最大值为3, 答案为C。

限于篇幅, 笔者仅举以上3个例子来运用“纯代数法”, 并在例1中简要对比了“几何作图法”, 已足够能说明“纯代数法”的妙用。

三结束语

《简单的线性规划》教学设计篇9

教材介绍了二元一次不等式表示平面区域的方法。通过实例, 介绍线性规划的基本概念及基本解法——图解法。

教学目标

知识技能:会用二元一次不等式 (组) 表示平面区域;了解线性规划的意义及基本概念和图解法, 并能解决一些简单的实际问题;

过程方法:培养学生观察、分析能力, 渗透集合、数形结合思想, 提高学生“建模”的能力;

态度价值观:培养学生学数学的兴趣和用数学的意识, 激励学生勇于创新。

教学过程结构设计

1. 创设情境, 导入新知

教师活动:我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集表示数轴上的点集, 那么, 二元一次不等式的解集的意义是什么呢?

学生活动:x≤a表示什么? (x+1) (x-2) >0表示什么?x+y-1>0表示什么?

设计意图:在新旧知识连接点处激活学生思维。

2. 呈现问题, 自主探究

教师活动:直角坐标系中, 集合{ (x, y) |x+y-1=0}是过点 (0, 1) 和 (1, 0) 的直线L, 那么, 集合A={ (x, y) |x+y-1>0}表示什么图形?

学生活动: (1) 尝试。直角坐标系中所有点被直线L分三类: (1) 在L上; (2) L的右上方的平面区域; (3) L的左下方的平面区域 (如图1) 。取A中点 (1, 1) 、 (1, 2) 等, 发现这些点在L的右上方, 而点 (0, 0) 、 (1, -1) 等不属于A, 这些点在L的左下方。 (2) 猜想。对直线L右上方的任意点 (x, y) , x+y-1>0成立;对直线L左下方的任意点 (x, y) , x+y-1<0成立。

设计意图:充分体现教师主导、学生主体;让学生在尝试中探索, 在探索中发现, 在发现中自主学习。

师生互动: (3) 证明:在L:x+y-1=0上任取点P (x0, y0) , 过P作垂直于y轴的直线y=y0, 在此直线上点P右侧的任意点 (x, y) , 都有x>x0, y=y0∴x+y-1>x0+y0-1=0, 因为点P (x0, y0) 是L上任意点, 所以, 对于直线L右上方的任意点 (x, y) , x+y-1>0都成立。

同理, 对于直线L左下方的任意点 (x, y) , x+y-1<0都成立。所以, 集合{ (x, y) |x+y-1>0}表示L右上方的平面区域 (如图2) 。

学生活动:归纳:两个方法。判断方法 (1) :在ax+by+c=0的一侧取特殊点 (x0, y0) , 以ax0+by0+c的正负情况便可判断ax+by+c>0和ax+by+c<0表示是直线的哪侧, 当c≠0时, 常取原点。判断方法 (2) :画直线ax+by+c=0, 若b>0、不等号是>0, 或b<0、不等号是<0, 则不等式表示的平面区域在直线的上方。若b>0、不等号是<0, 或b<0、不等号是>0, 则不等式表示的平面区域在直线的下方。简称:同上异下。

3. 课堂练习

个性化教学:画出 (x+2y-1) (x-y+3) ≥0表示的区域。

节点边际电价线性规划模型分析篇10

在市场经济的基本原理和运行规则中,商品价格是作为“杠杆”而被使用的。在成熟敏感的市场中,价格杠杆的使用,通常能够“撬动”多重因素,起到综合调节的作用。因此电能定价机制的设计是电力市场能否成功实现和实现好坏的关键问题,国外电力市场的实践中既有成功的范例也有失败的教训,因此对电能定价机制的设计必须慎重对待。

能量市场中定价机制的发展经历了一个从全系统统一边际电价(Unit Marginal Price,UMP)到区域边际电价(Zonal Marginal Price,ZMP)到完全节点边际电价(Locational Marginal Price,LMP)的发展过程[1]。只有在输电网络容量充足,也就是说,系统不会发生阻塞的情况下,UMP才能发挥作用,否则统一电价将给出错误的价格信号,致使调度员为保证系统安全经常发出强制性的运行命令,从而违背市场竞争的目的,同时大量的附加费用也将降低市场效率。目前UMP已基本淘汰。ZMP是LMP的近似和简化,因此它的使用范围有限,个别国家或地区由于其特殊的网架结构和负荷特性才采用ZMP定价机制,例如挪威、瑞典和美国佛罗里达州[2,3]的市场。发展至今,LMP被普遍认为是当前最有效和最可靠的电力市场定价机制,它已成功应用于世界上多种结构的电力市场,例如:PJM(Pennsylvania,New Jersey,Maryland)市场,New England ISO,New York ISO和NZEM市场等[4]。在美国联邦能源管制委员会(FERC)的推动下,LMP正在成为其倡导的“标准化市场设计(SMD)”的基石[1]。在我国,华东电网的基于全电量报价、节点电价与合同电价同时结算的市场模式也已经得到国家发改委和电监会的认可,正处于积极的测试运营和完善阶段。

LMP线性规划模型以其原理简单、实现方便,在国内外各实际电力市场中得到广泛的应用。本文通过对LMP线性规划模型的分析指出,由该模型计算得到的电价能反映系统运行中各市场参与者对网络损耗和系统阻塞的影响,使输电网各方得到正确的经济激励信号和投资引导。本文采用IEEE30节点算例分析指出,基于网损微增法计算的网损系数对系统平衡节点选取存在依赖性,由此产生的网损估计误差将造成市场公平性争议和系统安全隐患。

1 节点边际电价的线性规划模型

节点实时电价理论从20世纪70年代开始发展[5],它是基于经典经济调度模型,在资源配置和各约束条件满足情况下得出的边际电价,所以,它与经济调度和最优潮流有着深刻的联系。LMP计算模型大致可分为线性规划模型和非线性规划模型两大类。一般来说,非线性规划模型较复杂,但是能全面地考虑各种因素对节点电价的影响,例如:无功源/负荷的影响,节点电压的影响等[6,7,8]。因此非线性规划模型多用于理论研究和分析。相对于非线性规划模型而言,LMP线性规划模型由于其原理简单、实现方便,在国内外各实际电力市场中得到广泛的应用,例如PJM市场,我国的华东市场等。

典型的LMP线性规划模型可概括为如下形式:

目标函数(购电费用最小):

等式约束条件:

不等式约束:

(1)发电机出力限制

(2)支路功率约束:

式中:NG为系统中发电机的数量,Nl为支路数,NB为系统中节点数,Ci为第i台发电机的报价系数,PGi为第i台发电机的有功出力,Lossi为节点i的网损系数,PDi为第i节点的有功负荷,PCi,max,PGi,min为第i台发电机的有功出力上、下限,Ski为第i台发电机对支路k的功率灵敏度系数,Plk,max为支路k的功率上限。

由模型(1)—(4)可得到节点i的电价为:

式中:ρi为节点i的电价,λ为反映系统能量平衡约束条件系数,即等式约束条件(2)的拉格朗日乘子,μk为反映网络第k条线路输电功率约束条件系数,即不等式约束条件(4)的拉格朗日乘子。

2 节点电价的构成

一般来说,任何商品的价格都应该包括商品的生产成本、运输成本和运输损耗成本3部分。商品的生产成本是该商品生产过程中所耗费的自然资源成本、人力资源成本和设备折旧等一系列成本之和,它是决定该商品价格的主要因素。商品运输成本指的是商品从生产地运输到销售地所产生的交通运输费用,如果商品直接在生产地就地销售,则不会产生运输成本。运输损耗成本指的是一些商品在运输过程中由于存在损坏或损毁的可能性而产生的经济损失。一般运输损耗成本会随着运输距离增加,或者运输时间的延长而增加。与之相符,电能的节点电价也包括这三部分,但是各部分的意义稍有不同。

(1)生产成本。当不考虑网络损耗,同时不考虑线路输电约束时(或者说线路输电容量足够大输电网络不会发生阻塞),系统有能力调用网络中任何一台机组来满足系统负荷的需求。那么满足负荷微增长的机组,即最后一台竞价成功的机组,它在该出力下的报价就是节点电价的生产成本。

(2)运输成本。当线路阻塞情况发生时,阻塞导致某些节点的负荷不能调用系统中较为经济的机组,结果只能由较为昂贵的机组通过其他非阻塞线路为这些节点提供电力,导致系统中各节点出现电价差异。这些差异体现了节点电价中的运输成本。但是与一般商品价格中的运输成本意义不同,电价中的运输成本体现的不是电能运输过程中发生的费用(电能的运输费用,技术上称为输电费用,另有一套完整的理论体系和计算方法),它体现的是各节点对完成输送电能这一任务的贡献程度,专业术语称为阻塞成本。因此电价中的阻塞成本有正有负,正表示该节点对完成输送电能这一任务承担着积极的作用,而负则表示该节点对完成输送电能这一任务起着消极的作用。

(3)运输损耗成本。电能通过电网进行传输的过程将产生电能损耗,损失的电能成本将根据每个节点对网损的影响程度进行分摊,从而在节点电价中体现出运输损耗成本,这部分专业术语称为网损成本。

很明显,式(5)的第一部分,即乘子λ体现的就是电能的生产成本;第二部分,即Lossi×λ体现网损成本;第三部分,即体现阻塞成本。

3 模型分析

3.1 网损系数的作用

在电价模型(1)—(4)中网络损耗以网损系数的形式,作为体现各市场主体在电网中位置不同的影响因素而计入模型,它在电力系统安全运行和电力市场结算等方面起着重要的作用。

3.1.1 影响运行调度。

由于网损系数是对实际网损的近似估计,因此计算结果必然与实际的系统网损存在偏差,这样的近似可能引发由电价模型得到的发电计划在实际系统运行时是不可行的,主要表现为以下两种情况。

(1)网损过估计,也就是由网损系数估计的网损大于实际系统中的网损。以IEEE14节点系统为例(IEEE14的系统参数可参见IEEE标准,),在某一时刻,由模型(1)—(4)得到的发电调度计划是:PG1=130 MW,PG2=70MW,PG6=70 MW,网损为11 MW。而实际潮流计算系统运行网损只有7.7 MW,因此网损过估计。为保证电网运行安全必须削减机组的出力3.3 MW。然而减少哪台机组的出力以及如何减少就成为一个影响各方利益的有争议的问题。

(2)网损欠估计,也就是由网损系数估计的网损小于实际系统中的网损。同样以IEEE14节点系统为例,在某一时刻,由模型(1)—(4)得到的发电调度计划是:PG1=168.26 MW,PG2=70 MW,PG6=30 MW,网损为9.26 MW。而实际潮流计算系统运行网损是9.65 MW,因此网损欠估计。实际运行时需要从实时平衡市场购买电力补充。因此如何购买以及购买的成本如何分摊也是一个容易引起争议的问题。

3.1.2 影响市场收益。

在电力市场的运营规则中,网损系数将从两个方面影响用户的收益。

(1)机组中标。电力市场的竞价过程如下:首先,各发电商向市场交易中心提交各机组的报价;接着,市场交易中心根据各节点的网损系数对报价进行修正;然后,以修正后的报价,通过模型(1)—(4)得到调度计划和节点电价。由于竞价采用的是修正后的报价,因此网损系数在一定程度上将影响机组的中标。中标与否或者中标电量的多少都会直接影响发电商的收益。

(2)节点电价。从上一节的分析知道,节点电价由生产成本、网损成本和阻塞成本3部分构成。其中网损成本的大小受网损系数的影响,进而影响节点电价的大小。市场各参与者(无论是发电商还是用户)最后都是根据节点电价进行市场结算,因此即使是电价上存在着微小的差异,在乘以电量之后的结算金额也会相差很大。

3.2 常用的网损系数计算方法

由电价模型(1)—(4)计算得到的节点电价中网损成本为Lossi×λ,其中最重要的因素是网损系数,它直接反应了各节点对网络损耗的影响程度,从而体现其应承担的网损成本。在实际市场中网损系数的计算一般采用网损微增率法。具体步骤如下:

(1)给定一种典型的系统运行方式,在上网点增加一单位的发电出力,在系统参考点增加相应负荷,全网仍能保持电能平衡,计算系统网损的增加量。网损系数定义为该增量与单位发电出力的比值。

(2)取多个典型电力系统运行方式下的网损系数的加权平均作为最终采用的网损系数。

由该网损系数产生的网损成本具备以下几方面的特点:1)公平性。公平意味着市场参与者承担的网损经济费用横向比较与实际网损分布情况相适应,使各市场参与者容易接受。此外,公平性还体现在其计算结构不与某些主观因素相关。2)透明性。指各市场参与者清楚地掌握自身和其他参与者的网损修正额度,便于制定合理的竞价策略。3)简单。亦即方法原理易于理解,便于实现。

3.3 存在的问题

由于网损系数是基于网损微增的概念产生的,其计算过程主要通过潮流计算实现。在潮流计算过程中,平衡节点起到平衡系统网损的作用,因此在平衡节点处网损微增没有意义,即平衡节点的网损微增为零。另一方面,系统中各个节点的网损微增是以平衡节点为参考而言的。从物理意义上说,就是将平衡节点看作是虚拟的负荷中心,各个节点与负荷中心的电气距离决定了各节点的网损系数,因此平衡节点选取位置的不同将会导致各节点网损系数的不同。

以下以IEEE30节点系统为例,说明平衡节点选取对于节点电价和市场结算的影响。IEEE30的系统参数可参见IEEE标准,系统中各发电机的报价见表1,其中将各节点的机组作为一台机组考虑,每台机组的出力范围被分为10个容量段,针对每个容量段报一个价格。

分别以1节点,2节点和13节点作为平衡节点,得到的节点电价、网损成本以及各节点用户在该时刻所需支付(获得)的电费分别列于表2。从表中可以看出,在同一条件下,由于平衡节点的不同造成节点电价发生偏差,从而影响各用户的收益(表中的市场结算结果只是1小时的,如果考虑一天,甚至一年,市场收益的差别会更大)。因此,网损系数对市场参与者的收益有着举足轻重的影响,而平衡节点的选取又直接影响网损系数的值。所以平衡节点的选取必然引发公平性的争论。消除平衡节点对网损系数的影响是节点电价线性规划模型进一步实用化的关键。

4 结论

相对于非线性规划模型而言,节点电价的线性规划模型由于其原理简单、实现方便,在国内外各实际电力市场中得到了广泛的应用。本文通过对节点电价线性规划模型的分析指出,网损系数是模型中的关键因素,它对系统安全运行和市场公平结算有着重要的影响力。传统的网损微增法使电价模型对系统平衡节点选取存在依赖性,由此产生的网损估计误差将造成市场公平性争议和系统安全隐患。

对节点电价线性规划模型的分析研究,有助于得到更合理、更准确的电价信号,为我国电力市场的构建和运营提供一定的建议和参考。

摘要：文章通过对节点电价线性规划模型分析指出,节点电价包含电能生产成本,阻塞成本和网损成本,能反映系统运行中各市场参与者对网络损耗和系统阻塞的影响,能提供合理的经济信号引导发电投资和系统运行。网损系数是节点电价线性规划模型中的关键因素,实际市场中通常采用固定平衡节点的网损微增法计算网损系数。文章通过IEEE14节点和IEEE30节点算例分析指出网损微增法计算的网损系数对系统平衡节点选取存在依赖性,由此产生的网损估计误差将造成系统安全隐患和市场公平性争议,影响电力系统安全运行和电力市场稳定运营。

关键词：节点边际电价,线性规划,阻塞成本,网损成本,网损系数

参考文献

[1] MA Xing-wang, Sun David L, Kwok W. Cheung. Evolution Toward Standardized Market Design [J]. IEEE Trans. On Power Systems,2003,18(2):460-469.

[2] Christie R D, Ivar W I. The Energy Market in Norway and Sweden: Congestion Management [J]. IEEE Power Engineering Review, 1998, 18(5):61-63.

[3] Gribik P R, Angelidis G A, Kovacs R R. Transmission Access and Pricing with Multiple Separate Energy Forward Markets [J]. IEEE Trans. on Power Systems, 1999, 14(3): 865-876.

[4] T. Alvey, D. Goodwin, X. Ma, et al.A Security Constrained Bid-clearing System for New Zealand Wholesale Electricity Market [J]. IEEE Trans. on Power Systems, 1998, 13(2): 340-346.

[5] F. C. Schweppe, M. C. Caramanis, R. D. Tabors, et al. Spot Pricing of Electricity [M]. MA: Kluwer Academic Publishers, 1988.

[6] Ettore Bompard, Enrico Carpaneto, Gianfranco Chicco, et. al. Reactive Load Modeling Impacts on Nodal Prices in Pool Model Electricity Markets [C]. Seattle;IEEE Press, 2000.

[7] R. A. S. K. Ranatunga, U. D. Annakkage, C. S. Kumble. Implications of Reactive Power on Nodal Pricing and Dispatch[C]. Singapore;IEEE Press, 2000.

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